Логика

Формальная логика

Логика (формальная логика) (греч. от логикос — построенный на рассуждении, от логос — слово, понятие, рассуждение, разум) - наука об общезначимых формах и средствах мысли, необходимых для рационального познания в любой области знания. К общезначимым формам мысли относятся понятия, суждения, умозаключения, а к общезначимым средствам мысли — определения, правила (принципы) образования понятий, суждений и умозаключений, правила перехода от одних суждений или умозаключений к другим как следствиям из первых (правила рассуждений), законы мысли, оправдывающие такие правила, правила связи законов мысли и умозаключений в системы, способы формализации таких систем и т. п. Представляя общие основания для корректности мысли (в ходе рассуждений, выводов, доказательств, опровержений и пр.), Логика является наукой о мышлении — и как метод анализа дедуктивных и индуктивных процессов мышления, и как метод (норма) мышления, постигающего истину.

Задача логики

Задача Логики, которую вслед за Кантом обычно называют формальной Логикой, исторически сводилась к каталогизации правильных способов рассуждений (способов «обращений с посылками»), позволяющих из истинных суждений-посылок всегда получать истинные суждения-заключения. Известным набором таких способов рассуждений однозначно определялся процесс дедукции, характерный для так называемой традиционной Логики, ядро которой составляла силлогистика, созданная Аристотелем. По мере изучения особенностей умозаключений и демонстративного (доказывающего) мышления вообще предмет традиционной Логики постепенно расширялся за счёт несиллогистических, хотя и дедуктивных способов рассуждений, а также за счёт индукции. Поскольку последняя выпадала из рамок Логики как дедуктивной теории, она стала предметом особой теории — индуктивной логики.

Современная логика

Современная формальная Логика — исторический преемник традиционной Логики. Для неё характерно разнообразие теорий, в которых изучаются способы рассуждений, приемлемые с точки зрения каждой такой теории, а также их формализация, т. е. отображение в логических исчислениях (формализмах). Логические исчисления — это системы символов (знаков), заданные объединением двух порождающих процессов: процесса индуктивного порождения грамматически правильных выражений исчисления — его слов и фраз (языка исчисления), и процесса дедуктивного порождения (дедукции) потенциально значимых (истинных) фраз (теорем) исчисления — его фразеологии. Заданием алфавита исходных символов, правил образования в нём языка (его структурных свойств) и правил преобразования его фразеологии (аксиом и правил вывода) логическое исчисление однозначно определяется как синтаксическая система (формальная структура символов). Выбор этой системы как представителя определенных логических идей и соответственно приписывание её символам значений (интерпретация, или рассмотрение, её как семантической системы) превращают логическое исчисление в определенную теорию приемлемых способов рассуждений — теорию логического вывода. Сообразно тому, каков синтаксис логической теории (её правила преобразования) и её семантика, различают классические, интуиционистские, конструктивные, модальные, многозначные и другие теории логического вывода.

Теории логики

Классические теории исходят из предположения, что любое утверждение можно уточнить таким образом, что к нему будет применим принцип исключённого третьего. Опираясь на этот принцип (см. также принцип Двузначности), в классической Логике отвлекаются от гносеологических ограничений, вытекающих из невозможности общего (рекурсивного) метода для классической оценки суждений, согласно которой относительно любого объекта универсума вопрос о принадлежности ему («да») или отсутствии у него («нет») некоторого свойства решается всегда положительно. Интуиционистские (см. Интуиционизм) и конструктивные (см. Конструктивное направление) теории, напротив, придают эффективности (в частности, в смысле общерекурсивности) доказательств (установления свойств) решающее значение. Поэтому в общем случае (для бесконечных универсумов) в этих теориях отказываются от принципа исключённого третьего, исходя из другой предпосылки: чтобы утверждать, надо иметь возможность эффективно проверять свои знания и утверждения. Последнее существенно зависит от возможности восполнения утверждений алгоритмом подтверждения их истинности. Поэтому идея приемлемости рассуждений сопряжена в этих теориях с широко понимаемым (в смысле абстракции потенциальной осуществимости) эмпирическим познанием. Близкую к конструктивной идейную основу имеет и модальная логика, изучающая свойства модальностей — разновидностей отношения субъекта логической деятельности к характеру его целевой активности или к содержанию высказываемой им мысли (например, степени убеждённости в сказанном). В свою очередь, исчисления многозначной логики формализуют ещё более широкий подход к оценкам высказываний и объективных событий. Допуская множественность, в частности бесконечную, истинностных оценок (степеней подтверждения, правдоподобия, вероятности), теории многозначной Логики являются обобщениями классической и модальных теорий, например на область индуктивных (статистических) умозаключений, оставаясь в то же время дедуктивными логическими теориями.

Логика высказываний и логика предикатов

Каждая из этих логических теорий включает, как правило, два основных раздела: логику высказываний и логику предикатов. В Логике высказываний учитываются не все смысловые связи фраз естественного языка, а только такие, которые не создают косвенных контекстов и позволяют, рассматривая сколь угодно сложные высказывания как функции истинности простых (атомарных), выделять в множестве высказываний всегда истинные — тавтологии, или логические законы. В Логике высказываний отвлекаются от понятийного состава высказываний (их субъектно-предикатной структуры). Сохраняя характер смысловых связей Логика высказываний, в Логике предикатов, напротив, анализируют и субъектно-предикатную структуру высказываний, и то, как она влияет на структуру и методы логического вывода. Классический вариант Логики предикатов является непосредственным продолжением традиционной силлогистики (Логики свойств), но в различных исчислениях предикатов субъектно-предикатная структура суждений анализируется с большей глубиной, чем в силлогистике: помимо свойств («одноместных» предикатов), в них формализуются и отношения («многоместные» предикаты).

В многообразии логических теорий выражается многообразие требований, предъявляемых к Логике современной наукой и практикой. Важнейшим из них является требование в содействии точной постановке и формулировке научно - технических задач и разысканию возможных путей их разрешения. Предлагая строгие методы анализа определенных аспектов реальных процессов рассуждений, логические теории одновременно содействуют и объективному анализу положения вещей в той области знания, которая отражается в соответствующих процессах мысли. Таким образом, логические теории не субъективны и не произвольны, а представляют собой глубокое и адекватное отображение посредством символов объективной «логики вещей» на ступени абстрактного мышления.

По мере использования логических исчислений в качестве необходимой «техники мышления» собственное идейное содержание логических теорий совершенствуется и обогащается, а растущие потребности решения научных и практических задач стимулируют развитие старых и создание новых разделов Логики. Примером может служить обусловленное задачей обоснования математики возникновение метатеории (теории доказательств) — в узком смысле как теории формальных систем, ограниченной рамками финитизма, и в широком — как металогики, воплощающей взаимодействие формальных (синтаксических), содержательных (семантических) и деятельностных (прагматических) аспектов познания. Многие результаты, относящиеся к взаимоотношению формальных логических систем и их моделей, а потому имеющие и общенаучное значение, получены как металогические теоремы (например, о полноте Логики предикатов первого порядка, о наличии счётной модели у любой непротиворечивой теории, формализуемой в языке предикатов первого порядка, о неполноте формальных систем, включающих арифметику, и ряд других), раскрывающие гносеологический подтекст самой Логики.